三角函數

文章日期：2009-05-03 20:29

時有耳聞做CNC的人為三角函數所困惑，因為工作圖上常常只給一個角度卻沒有X值或Y、Z值，其實三角函數只是個數學工具，懂的人用熟的人都會說三角函數其實很簡單，故為此一文。

三角函數簡述如下:

1.      三角函數所指的三角形必須是一個直角三角形。

2.      三角形有三個內角，扣除了一個直角之後，還有另外兩個內角(此兩個內角的總合剛好是90度，因為任一三角形的所有內角合必為180度)，使用三角函數時必須先從此兩內角中挑出一個內角來當三角函數角，如下圖所示的k角，決定了三角函數角之後，就可接著決定鄰邊a、對邊b、斜邊c，這很好記憶 : 斜邊就是三角形中最長的邊，對邊就是對著三角函數角k的邊，而鄰邊與斜邊包著三角函數角。

3.      為了與一般的書本有同樣的記號，假設三角函數角的代號為θ，常用的三角函數有六個，即: sinθ、cosθ、tanθ、cotθ、secθ、cscθ，其定義如下:

sinθ = 對邊 / 斜邊 = b/c

cosθ = 鄰邊 / 斜邊 = a/c

tanθ = 對邊 / 鄰邊 = b/a

cotθ = 鄰邊 / 對邊 = a/b

secθ = 斜邊 / 鄰邊 = c/a

cecθ = 斜邊 / 對邊 = c/b

讀者想必已發現sinθ與cscθ、cosθ與secθ、tanθ與cotθ互為倒數，所以最常用的三角函數是sinθ、cosθ、tanθ這三種，其餘的另三種只要倒數一下，就可獲得。

囉嗦了一大堆的定義，那是沒辦法的，不懂得這些定義，就不能瞭解三角函數變的是甚麼把戲，三角函數最常的用法就是 :　已知直角三角形的某一邊長，求另外兩邊的邊長。譬如說已知斜邊邊長c，試求對邊b及鄰邊a的邊長，這做法其實很簡單，只要將斜邊邊長c乘上sinθ就可得到對邊邊長b，或是將斜邊邊長c乘上cosθ就可得到鄰邊邊長a，很簡單吧，解釋如下:

因為定義sinθ =  b/c，將此等號兩邊同乘以c，便可得到c* sinθ =  b(對邊邊長)，

因為定義cosθ =  a/c，將此等號兩邊同乘以c，便可得到c* cosθ =  a(鄰邊邊長)，

講到這裡，或許已經有人在抗議根本就背不起來，那也沒關係，來看看Youtube的教學 http://www.youtube.com/watch?v=VNS4ynnI4H8&feature=share

或者也可用作圖法來背吧，c* sinθ就是將斜邊邊長c寫上一個草寫的s，如下圖所示，那就會到達b，也就是等於b的意思，c* cosθ就是將斜邊邊長c寫上一個草寫的c，那就會到達a，也就是等於a的意思，另外一個是a* tanθ就是將鄰邊邊長a寫上一個草寫的t，那就會到達b，也就是等於b的意思，這樣意會夠簡單了吧。

再則，如果讀者會逆過來聯想的話，那變化就更多了 : 將a逆回去，也就是將a除以 cosθ，就可得到c，將b逆回去，也就是將b除以 sinθ，就可得到c，將b除以 tanθ，就可得到a。

瞭解基本形之後，再來談變化形，由於直角三角形不可能好端端地每次都擺同樣的方位，而且三角函數角可能是另外兩個內角中的某一個，不同的三角函數角所得到的鄰邊對邊位置是不一樣的，故當三角函數角決定好了之後，就要將鄰邊及對邊分辨清楚，底下這幾個圖可以讓大家來試試自己的眼力。

現在來做一個練習吧，求下圖車工件錐度處之Z軸長度，我們先畫出一直角三角形，然後決定三角函數角，如果讀者以30度為三角函數角，則錐度處之Z軸長度為20*tan(30)=11.547，或者讀者如果以另一個角60度為三角函數角，則錐度處之Z軸長度為20/tan(60)=11.547，兩者皆可以得到同樣的答案。
 
也許有讀者不會按電子計算機的三角函數，其實打開電腦裡的"小算盤"就很好用了，譬如說以tan(30)為例，先按30，再按tan及可，不過要記得先在小算盤的上方按"檢視"，然後選取"工程型"，這樣才可以看得到tan。

拿一個CNC車床乙級題目再來做一個練習，如下圖所示 :

    

求下圖的線段s1之長度。

解 : 由此圖中的錐度30度可以推出直角三角形的角a是30度，以此角a做為三角函數角，則線段s1是對邊，而鄰邊的長等於半徑r(此為已知)，故將鄰邊的邊長r乘上tanθ，就可得到對邊邊長s1，亦即 r*tanθ = s1。